【完全背包】HDU 1114 Piggy-Bank-白红宇

【完全背包】HDU 1114 Piggy-Bank

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发布时间：2019-03-14

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背包问题是计算机科学中的经典问题之一，常用来解决在给定物品的数量和各自的价值与重量约束下，找到如何选择物品使得背包的总价值最大化或者最小化的组合问题。在这道题中，我们需要找到一种装满背包的方式，并且使得背包的总价值最低。

动态规划（dp）的方法是解决这个问题的有效手段。dp[i][j]表示在前i个物品中，装下背包容量为j时的最优价值。我们可以通过以下步骤来理解和实现这个算法：

理解问题约束：首先明确背包的容量限制和物品的数量以及各自的价值与重量。虽然本题中没有提供具体的物品数量和背包的容量，但我们可以设定合理的变量来表示这些量。

初始化状态与递推关系：初始化dp数组时，我们需要设定一个基线状态。通常，将dp[0][j]设为0，因为没有物品时，背包是空的，价值也是0。对于其他状态，我们需要决定是否将当前物品放入背包中。如果能放下，则选择价值较高的物品；反之，则跳过当前物品。

循环填充状态：我们需要循环遍历每一个物品和每一个可能的背包容量。通过比较当前物品的价值和重量与背包剩余容量的关系，决定是否将物品放入背包。这里需要用到一个经典的优化策略：当物品的价值重量比（价值/重量）高于当前物品的平均价值时，优先选择当前物品。

优化算法性能：由于在背包问题中通常需要考虑物品的重量，而容量的限制可能会导致状态数量的爆炸性增长，优化算法性能也是至关重要的。在已经知道物品的最大重量的情况下，我们可以将背包的容量设置为合理的值以减少计算量。

以下是算法的伪代码实现：

#include 
   
    #include 
    
     #include 
     
      #include 
      
       #include 
       
        #include 
        #include 
         
          #include 
          
           using namespace std;#define N 100#define INF 0x7fffffffint main() { int t; cin >> t; for(int test_case = 0; test_case < t; test_case++) { int e, f, n; cin >> e >> f; m = f - e; cin >> n; for(int i = 0; i < n; i++) { cin >> num[i] >> w[i] >> v[i]; } // 初始化动态规划表 vector
           
            
             > dp(n+1, vector
             
              (m+1, INF)); dp[0][0] = 0; for(int i = 0; i < n; i++) { for(int j = 0; j <= m; j++) { if(j - w[i] >= 0 && dp[i-1][j - w[i]] + v[i] < dp[i][j]) { dp[i][j] = dp[i-1][j - w[i]] + v[i]; } } } // 找出dp[n][m]及其对应的物品下标 // 这里省略具体细节 } return 0;}

需要注意的是，在实际应用中，动态规划的状态转移方程需要根据具体问题进行调整。对于这个特定的背包问题，我们需要考虑物品的不同取法以及背包容量的限制。

通过动态规划，我们能够系统地探索所有可能的装法，从而找到最优的背包装满方案。虽然背包问题本身具有较高的复杂度，但通过合理的状态划分和优化算法性能，我们可以在有限时间内找到解。

总体来说，动态规划是一种强大的工具，能够帮助我们在复杂的选择问题中找到最优解。这道题的背包问题也就是动态规划的典型应用之一，我们可以通过多次练习和实际问题的应用来进一步提升自己的编程能力和算法思维。

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